Дастан Бекешев родился 22 ноября 1983 года в Бишкеке (на тот момент — Фрунзе).
Полностью потерял зрение в возрасте 6 лет. Учился в специализированной школе-интернате для незрячих и слабовидящих детей.
У Дастана Бекешева двое братьев и сестра. Женат, воспитывает дочь.
Дастан Бекешев подчеркивает три принципа, которыми, на его взгляд, должна определяться деятельность государственных органов — порядочность, прозрачность и подотчетность.