[MPSI/MP2I] Polynômes - exo corrigé Polytechnique MP (transcendance de e)
Salut, aujourd'hui on s'attaque à un exercice donné à X-ENS qui porte sur la transcendance de e : il faut montrer que e ne peut-être racine d'un polynômes à coefficients rationnels. Pour cela, la démonstration étudiée dans l'énoncé se propose de raisonner par l'absurde, et de supposer que e est un racine d'un polynômes à coefficients dans N, et d'étudier une combinaison linéaire faite par les coefficients du polynôme dont e est supposé racine et d'une intégrale faite du produit d'une exponentielle et du polynôme. Il se trouve que cette intégrale est un entier naturel non nul, ce qui permet d'aboutir à une contradiction. On peut alors facilement passer de polynômes à coefficients dans N à ceux dans Q, et en déduire que e ne peut pas être racine d'un polynôme à coefficients dans Q.
Plan de la vidéo et correction de l'exercice :
00:00 - Présentation de l'énoncé
01:03 - Q1
03:14 - Q2 (J est un entier naturel)
04:46 - Q2 (J est divisible par (p-1)!)
07:55 - Q2 (J est non nul)
12:05 - Q3
17:25 - Conclusion
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Source : X-ENS
Musique : Steve Hartz - Never Get Old
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